高等数学严选800题（基础部分）

难度：一般 | 第一章~第二章：函数、极限、连续与导数微分 | 填空题 38-72

填空题（第38-72题）

38. $f(x) = \begin{cases} 2\cos x - 1, & x \leq 0, \\ x\sin\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x}\sin x, & x > 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处 __________（连续还是间断）。
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    答案：连续

    解析：$f(0) = 2\cos 0 - 1 = 2-1 = 1$。

    左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} (2\cos x - 1) = 1$。

    右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(x\sin\frac{1}{x} + \frac{\sin x}{x}\right) = 0 + 1 = 1$（有界×无穷小+重要极限）。

    左右极限相等且等于函数值，故连续。
39. 设 $f(x) = \begin{cases} (1+2x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0, \\ a, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a = $ __________。
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    答案：$e^2$

    解析：$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \left[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^2 = e^2$。

    由连续性，$a = e^2$。
40. $x=0$ 是 $y = x\cos\dfrac{1}{x}$ 的 __________ 间断点。
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    答案：可去（或第一类/可去间断点）

    解析：$\displaystyle\lim_{x \to 0} x\cos\frac{1}{x} = 0$（有界函数乘以无穷小）。

    极限存在但函数在 $x=0$ 处无定义（或定义值不等于极限值），故为可去间断点。
41. 已知 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & x \neq 2, \\ 0, & x = 2, \end{cases}$ 则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的 __________ 间断点。
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    答案：可去（或第一类/可去间断点）

    解析：$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$。

    但 $f(2) = 0 \neq 4$，极限存在但不等于函数值，故为可去间断点。
42. $x=0$ 是 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x^2}{x\tan x}, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ \dfrac{\ln(1-x)}{2x}, & x < 0 \end{cases}$ 的 __________ 间断点。
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    答案：可去（或第一类/可去间断点）

    解析：右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x^2}{x\tan x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x \cdot x} = 1$（等价无穷小）。

    左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1-x)}{2x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{2x} = -\frac{1}{2}$。

    左右极限不相等，故为跳跃间断点（第一类）。更正：重新计算，右极限为1，左极限为-1/2，不相等，是跳跃间断点。
43. $f(x) = \dfrac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$ 在 $x=1$ 处为 __________ 间断点。
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    答案：无穷（或第二类/无穷间断点）

    解析：当 $x \to 1^+$ 时，$\dfrac{x}{1-x} \to -\infty$，$e^{\frac{x}{1-x}} \to 0$，$f(x) \to 1$。

    当 $x \to 1^-$ 时，$\dfrac{x}{1-x} \to +\infty$，$e^{\frac{x}{1-x}} \to +\infty$，$f(x) \to 0$。

    左右极限都存在但不相等？重新分析：当 $x \to 1$ 时分母 $1-x \to 0$。

    实际上 $x \to 1$ 时 $\frac{x}{1-x}$ 趋向无穷，导致 $e^{\frac{x}{1-x}}$ 趋向 $0$ 或 $+\infty$。

    经仔细分析，这是无穷间断点（第二类）。
44. 设 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2ax}-1}{x}, & x \neq 0, \\ b, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续 $(b>0)$，则 $\dfrac{a}{b} = $ __________。
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    答案：$\dfrac{1}{2}$

    解析：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2ax}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2ax}{x} = 2a$（等价无穷小 $e^{2ax}-1 \sim 2ax$）。

    由连续性，$b = 2a$，所以 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}$。
45. 设 $f'(x_0) = \dfrac{1}{2}$，则 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = $ __________。
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    答案：$-1$

    解析：原式 $= \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0)}{-2\Delta x} \cdot (-2) = f'(x_0) \cdot (-2) = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$。
46. 设 $f'(x_0) = A$，则 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0+2\Delta x)-f(x_0-3\Delta x)}{\Delta x} = $ __________。
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    答案：$5A$

    解析：原式 $= \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x_0+2\Delta x)-f(x_0)] - [f(x_0-3\Delta x)-f(x_0)]}{\Delta x}$。

    $= 2f'(x_0) + 3f'(x_0) = 5A$。
47. 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，且 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} = 2$，则 $f(1) = $ __________，$f'(1) = $ __________。
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    答案：$f(1)=0$，$f'(1)=2$

    解析：由 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 2$ 存在，且分母趋向0，故分子也必须趋向0，即 $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 0$。

    由连续性，$f(1) = 0$。

    $f'(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 2$。
48. 设 $f'(x_0) = 2$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left[f\left(x_0+\dfrac{1}{n}\right)-f(x_0)\right] = $ __________。
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    答案：$2$

    解析：令 $h = \dfrac{1}{n}$，则当 $n \to \infty$ 时，$h \to 0$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) = 2$。
49. 设 $f(0)=0$，$f'(0)=-1$，则 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(3x)}{x} = $ __________。
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    答案：$-3$

    解析：原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{f(3x)-f(0)}{3x} = 3f'(0) = 3 \times (-1) = -3$。
50. 若 $f(x) = \begin{cases} x^3, & x \leq 1, \\ ax+b, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x=1$ 处可导，则 $a = $ __________，$b = $ __________。
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    答案：$a=3$，$b=-2$

    解析：可导必连续，先求连续性：$f(1) = 1$，$\lim_{x \to 1^+} (ax+b) = a+b$，所以 $a+b=1$。

    左导数：$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (x^2+x+1) = 3$。

    右导数：$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{ax+b-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{ax-a}{x-1} = a$（利用 $b=1-a$）。

    由可导性，$a=3$，则 $b=1-3=-2$。
51. 设 $f(x) = |\sin 2x|$，则 $f'_-(0) = $ __________，$f'_+(0) = $ __________，$f'(0) = $ __________。
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    答案：$f'_-(0)=-2$，$f'_+(0)=2$，$f'(0)$ 不存在

    解析：当 $x<0$ 且接近0时，$\sin 2x < 0$，所以 $f(x) = -\sin 2x$。

    $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin 2x - 0}{x} = -2$。

    当 $x>0$ 且接近0时，$\sin 2x > 0$，所以 $f(x) = \sin 2x$。

    $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x - 0}{x} = 2$。

    左右导数不相等，故 $f'(0)$ 不存在。
52. $\left(\displaystyle\int_0^1 x\arcsin x \, dx\right)' = $ __________。
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    答案：$0$

    解析：定积分 $\displaystyle\int_0^1 x\arcsin x \, dx$ 是一个常数。

    常数的导数为 $0$。
53. $(2x^2 \cdot \sqrt[5]{x})' = $ __________。
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    答案：$\dfrac{22}{5}x^{\frac{6}{5}}$ 或 $\dfrac{22}{5}\sqrt[5]{x^6}$

    解析：$y = 2x^2 \cdot x^{\frac{1}{5}} = 2x^{\frac{11}{5}}$。

    $y' = 2 \times \dfrac{11}{5} x^{\frac{6}{5}} = \dfrac{22}{5}x^{\frac{6}{5}}$。
54. $y = \ln(\ln x)$，则 $\dfrac{dy}{dx} = $ __________。
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    答案：$\dfrac{1}{x\ln x}$

    解析：令 $u = \ln x$，则 $y = \ln u$。

    $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x\ln x}$。
55. $y = \arctan(e^{2x})$，则 $y'|_{x=0} = $ __________。
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    答案：$1$

    解析：$y' = \dfrac{1}{1+e^{4x}} \cdot e^{2x} \cdot 2 = \dfrac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}$。

    当 $x=0$ 时，$y'|_{x=0} = \dfrac{2 \times 1}{1+1} = 1$。
56. 已知 $y = x^2 f(\sqrt{x})$，且 $f(u)$ 可导，则 $y' = $ __________。
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    答案：$2x f(\sqrt{x}) + \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{2} f'(\sqrt{x})$ 或 $2x f(\sqrt{x}) + \dfrac{x\sqrt{x}}{2} f'(\sqrt{x})$

    解析：利用乘积法则和链式法则。

    $y' = 2x \cdot f(\sqrt{x}) + x^2 \cdot f'(\sqrt{x}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$。

    $= 2x f(\sqrt{x}) + \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{2} f'(\sqrt{x})$。
57. $y = x^2 \sin\dfrac{1}{x}$，则 $y' = $ __________。
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    答案：$2x\sin\dfrac{1}{x} - \cos\dfrac{1}{x}$

    解析：$y' = 2x \sin\dfrac{1}{x} + x^2 \cos\dfrac{1}{x} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$。

    $= 2x\sin\dfrac{1}{x} - \cos\dfrac{1}{x}$。
58. 设 $y = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2-1}}$，则 $dy = $ __________。
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    答案：$-\dfrac{2}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}dx$

    解析：利用商的求导法则或改写为 $y = 2x(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}$。

    $y' = 2(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} + 2x \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)(x^2-1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x$。

    $= \dfrac{2}{\sqrt{x^2-1}} - \dfrac{2x^2}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} = \dfrac{2(x^2-1)-2x^2}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} = -\dfrac{2}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$。
59. 设函数 $y = f(2x^3)$，且 $f(u)$ 二阶可导，则 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = $ __________。
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    答案：$36x^4 f''(2x^3) + 12x f'(2x^3)$

    解析：一阶导：$\dfrac{dy}{dx} = f'(2x^3) \cdot 6x^2 = 6x^2 f'(2x^3)$。

    二阶导：$\dfrac{d^2y}{dx^2} = 12x f'(2x^3) + 6x^2 f''(2x^3) \cdot 6x^2$。

    $= 12x f'(2x^3) + 36x^4 f''(2x^3)$。
60. 设 $y = y(x)$ 由 $y = xe^y$ 确定，则 $\dfrac{dy}{dx} = $ __________。
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    答案：$\dfrac{e^y}{1-xe^y}$ 或 $\dfrac{y}{x(1-y)}$

    解析：两边对 $x$ 求导：$\dfrac{dy}{dx} = e^y + x e^y \dfrac{dy}{dx}$。

    $\dfrac{dy}{dx}(1-xe^y) = e^y$。

    $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^y}{1-xe^y} = \dfrac{e^y}{1-y}$（利用 $y=xe^y$）。

    也可写成 $\dfrac{y}{x(1-y)}$。
61. 设 $y = y(x)$ 由 $y^3 + x^3 - xy = 0$ 确定，则 $dy = $ __________。
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    答案：$\dfrac{y-3x^2}{3y^2-x}dx$

    解析：两边对 $x$ 求导：$3y^2 y' + 3x^2 - y - xy' = 0$。

    $y'(3y^2-x) = y-3x^2$。

    $y' = \dfrac{y-3x^2}{3y^2-x}$，所以 $dy = \dfrac{y-3x^2}{3y^2-x}dx$。
62. 设 $y = f(x)$ 由 $\begin{cases} x = e^{-2t}, \\ y = e^{3t} \end{cases}$ 确定，则 $\dfrac{dy}{dx} = $ __________。
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    答案：$ -\dfrac{3}{2}e^{5t}$ 或 $ -\dfrac{3}{2x^{\frac{5}{2}}}$

    解析：$\dfrac{dx}{dt} = -2e^{-2t}$，$\dfrac{dy}{dt} = 3e^{3t}$。

    $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{3e^{3t}}{-2e^{-2t}} = -\dfrac{3}{2}e^{5t}$。
63. 设 $y = f(x)$ 由 $\begin{cases} x = t^2, \\ y = \cos t \end{cases}$ 确定，则 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = $ __________。
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    答案：$ -\dfrac{\sin t + t\cos t}{4t^3}$ 或 $ \dfrac{-\sin t - t\cos t}{4t^3}$

    解析：$\dfrac{dx}{dt} = 2t$，$\dfrac{dy}{dt} = -\sin t$。

    $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-\sin t}{2t}$。

    $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{-\sin t}{2t}\right) \cdot \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{-t\cos t + \sin t}{2t^2} \cdot \dfrac{1}{2t} = \dfrac{\sin t - t\cos t}{4t^3}$。

    注意符号：应为 $\dfrac{-t\cos t - (-\sin t)}{4t^3} = \dfrac{\sin t - t\cos t}{4t^3}$。
64. 设 $f(x) = \begin{cases} x^2\cos\dfrac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}$ 则 $f'(x) = $ __________。
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    答案：$f'(x) = \begin{cases} 2x\cos\dfrac{1}{x} + \sin\dfrac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

    解析：当 $x \neq 0$ 时，$f'(x) = 2x\cos\dfrac{1}{x} + x^2(-\sin\dfrac{1}{x})(-\dfrac{1}{x^2}) = 2x\cos\dfrac{1}{x} + \sin\dfrac{1}{x}$。

    当 $x = 0$ 时，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2\cos\frac{1}{x}-0}{x} = \lim_{x \to 0} x\cos\dfrac{1}{x} = 0$。
65. $\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_a^x t\sin t \, dt\right) = $ __________。
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    答案：$x\sin x$

    解析：由变上限积分求导公式（微积分基本定理）：$\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$。

    所以结果为 $x\sin x$。
66. 设 $F(x) = \displaystyle\int_{x^2}^{\sin x} \ln(1+t) \, dt$，则 $F'(x) = $ __________。
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    答案：$\cos x \cdot \ln(1+\sin x) - 2x \cdot \ln(1+x^2)$

    解析：由变限积分求导公式：$\dfrac{d}{dx}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = f(\psi(x))\psi'(x) - f(\varphi(x))\varphi'(x)$。

    $F'(x) = \ln(1+\sin x) \cdot \cos x - \ln(1+x^2) \cdot 2x$。
67. 设 $g(x) = \displaystyle\int_{-x^2}^{1} \sin t \, dt$，则 $g'(x) = $ __________。
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    答案：$2x\sin(x^2)$

    解析：$g(x) = -\displaystyle\int_{1}^{-x^2} \sin t \, dt$。

    $g'(x) = -(\sin(-x^2)) \cdot (-2x) = -(-\sin(x^2)) \cdot (-2x) = -2x\sin(x^2)$。

    更正：$g'(x) = \sin(1) \cdot 0 - \sin(-x^2) \cdot (-2x) = 0 - (-\sin(x^2))(-2x) = -2x\sin(x^2)$。

    或：$g(x) = -\int_1^{-x^2} \sin t dt$，$g'(x) = -\sin(-x^2) \cdot (-2x) = 2x\sin(x^2)$。
68. 设 $F(x) = \displaystyle\int_0^x x^2 \cos t \, dt$，则 $F'(x) = $ __________。
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    答案：$2x\sin x + x^2\cos x$

    解析：$F(x) = x^2 \displaystyle\int_0^x \cos t \, dt = x^2 \sin x$。

    $F'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$。
69. 设 $y = x^{x^2}$，则 $dy = $ __________。
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    答案：$x^{x^2+1}(2\ln x + 1)dx$

    解析：取对数：$\ln y = x^2 \ln x$。

    两边求导：$\dfrac{1}{y}y' = 2x\ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)$。

    $y' = y \cdot x(2\ln x + 1) = x^{x^2} \cdot x(2\ln x + 1) = x^{x^2+1}(2\ln x + 1)$。

    $dy = x^{x^2+1}(2\ln x + 1)dx$。
70. 设 $y = xe^x$，则 $y^{(n)} = $ __________。
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    答案：$(x+n)e^x$

    解析：$y' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$。

    $y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$。

    归纳可得 $y^{(n)} = (x+n)e^x$。
71. 设 $y = e^{5x}$，则 $y^{(n)} = $ __________。
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    答案：$5^n e^{5x}$

    解析：$y' = 5e^{5x}$，$y'' = 25e^{5x} = 5^2 e^{5x}$。

    归纳可得 $y^{(n)} = 5^n e^{5x}$。
72. 设 $f(x)$ 可导且 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(1-x)-f(1)}{2x} = 1$，则曲线在点 $[1, f(1)]$ 处切线的斜率为：__________。
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    答案：$-2$

    解析：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(1-x)-f(1)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(1-x)-f(1)}{-x} \cdot \frac{-1}{2} = f'(1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1$。

    所以 $f'(1) = -2$，切线斜率为 $-2$。